La serie Fourier

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La serie Fourier

(Matemática | Avanzado | Serie Fourier)

La serie de fourier de la función f(x)

a(0) / 2 + (k=1..) (a(k) cos kx + b(k) sin kx)

a(k) = 1/PI f(x) cos kx dx
b(k) = 1/PI f(x) sin kx dx

El residuo de la serie de fourier. Sn(x) = la suma de los primeros n+1 términos a x.

el residuo(n) = f(x) - Sn(x) = 1/PI f(x+t) Dn(t) dt

Sn(x) = 1/PI f(x+t) Dn(t) dt

Dn(x) = Dirichlet kernel = 1/2 + cos x + cos 2x + .. + cos nx = [ sin(n + 1/2)x ] / [ 2sin(x/2) ]

Teorema de Riemann. Si f(x) es continuo a excepción de un número finito de saltos finitos en todos los intervalos finitos pues:

lim_(k->) f(t) cos kt dt = lim_(k->)f(t) sin kt dt = 0

La serie fourier de la función f(x) en un intervalo arbitrario.

A(0) / 2 + (k=1..) [ A(k) cos (k(PI)x / m) + B(k) (sin k(PI)x / m) ]

a(k) = 1/m f(x) cos (k(PI)x / m) dx

b(k) = 1/m f(x) sin (k(PI)x / m) dx

El Teorema de Parseval. Si f(x) es continuo; f(-PI) = f(PI) pues

1/PI f^{^2}(x) dx = a(0)^{^2} / 2 + (k=1..) (a(k)^{^2} + b(k)^{^2})

La Integral Fourier de la función f(x)

f(x) = ( a(y) cos yx + b(y) sin yx ) dy

a(y) = 1/PI f(t) cos ty dt

b(y) = 1/PI f(t) sin ty dt

f(x) = 1/PI dy f(t) cos (y(x-t)) dt

Casos espaciales de la Integral Fourier

si f(x) = f(-x) pues

f(x) = 2/PI cos xy dy f(t) cos yt dt

if f(-x) = -f(x) then

f(x) = 2/PI sin xy dy sin yt dt

(Transforms) de Fourier

(Transform) Fourier coseno

g(x) = (2/PI)f(t) cos xt dt

(Transform) Fourier seno

g(x) = (2/PI)f(t) sin xt dt

Identidades de los (tranforms)

Si f(-x) = f(x) pues

Transform Fourier coseno ( Tranform Fourier coseno (f(x)) ) = f(x)

Si f(-x) = -f(x) pues

Transform Fourier seno (Transform Fourier seno (f(x)) ) = f(x)