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Integral x^n/b>
(Matemática | Cálculo | Integrales | Tabla de | x^n)

Descubridor: Cavalieri (1598-1647)

Demostró: (n=1,2..9) Cavalieri; (n=entero positivo) Fermat (1601-1665)

Demostración #1: Desde la derivada

Dando :
  1. (d-dx)x^m = m x^(m-1)
  2. El teorema fundamental de cálculo
(integral)m x^(m-1) dx = (integral) (d-dx)x^m dx = x^m + d. (El Teorema fundamental de cálculo (d = una constante arbitraria)
(integral)x^(m-1) dx = x^m / m + c (Divida ambos lados por m) (c=una constante arbitraria, d/m = c)
(integral)x^n dx = x^(n+1) / (n+1) + c (Fije m=n+1, substitución) QED.

Demostración #2: El método de Fermat

Siendo:
  1. 1 + r + r^2 + .. + r^n = (1 - r^(n+1)) / (1-r)
  2. 1 + r + r^2 + ... = 1 / (1-r) (r < 1)
(integral)(0 to b) x^n dx es computado por tomando las áreas de un número infinito de subintervalos; subintervalos mas grandes a x cerca de b, mas pequeños cuando cerca de 0.
(integral)(0 to b) f(x) dx = f(b)*(b - br) + f(br)*(br - br^2) + f(br^2)*(br^2 - br^3) + ... (r -> 1-)
= b^n*(b - br) + (br)^n*(br - br^2) + (br^2)^n*(br^2 - br^3) + ...
= b^(n+1)(1-r) + b^(n+1)r^(n+1)(1-r) + b^(n+1)r^(2n+2)(1-r) + ...
= b^(n+1)(1-r) [ 1 + r^(n+1) + (r^(n+1))^2 + ... ]
= b^(n+1)(1-r) [ 1 / (1-r^(n+1)) ] (Teorema 2.)
= b^(n+1) / [ (1 - r^(n+1)) / (1-r) ]
= b^(n+1) / [ 1 + r + r^2 + .. + r^n ] (Teorema 1.)
= b^(n+1) / (n+1) (r -> 1) QED.


  
 
  

 
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